Domande di geometria

Scuola superiore

Si danno le tracce di alcuni temi in grado di essere risolti.

Traccia 1

Dato il triangolo ABC si prolunghino i lati AB ed AC oltre A di due segmenti AD=AB ed AE=AC. Dimostrare che sono congruenti i segmenti BC e DE.

Traccia 2

Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC si prolunghi il lato BC oltre B e C di due segmenti congruenti BD=CE. Dimostrare che il triangolo ADE è isoscele.

Traccia 3

Disegna un triangolo isoscele ABC sulla base AB e sul lato AB segna un punto P. Traccia la retta passante per P , parallela alla bisettrice dell’angolo ACB e indica con M e N le intersezioni di questa parallela con le rette dei lati AC e BC . Dimostra che CM è congruente a CN.

Traccia 4

Dato un triangolo ABC, dal vertice B traccia la parallela ad AC e su essa considera il punto D in modo che AD non intersechi BC e che BD=AC. Dimostra che AD è parallelo a BC.

Traccia 5

Dato il triangolo ABC, sia CM la mediana relativa al lato AB. Prolunga CM di un segmento MD tale che MD = CM. Dimostra che ACB = ADB.

Traccia 6

Due segmenti AB e CD si intersecano nel punto H; AH è congruente con HD e CH è congruente con HB. I prolungamenti delle rette passanti per AC e BD si incontrano nel punto K. Dimostra che il triangolo CBK è isoscele.

Traccia 7

Il triangolo ABC è isoscele sulla base AB. Traccia, per un punto P di AC, la retta perpendicolare ad AB; indica con Q il punto in cui tale perpendicolare incontra il prolungamento di CB. Dimostra che il triangolo PQC è isoscele.

Traccia 8

Dati due segmenti AB e BC, consecutivi ma non adiacenti, disegna gli assi dei due segmenti e indica con P il loro punto di intersezione. Dimostra che il triangolo ACP è isoscele.

Traccia 9

Dato un triangolo isoscele ABC di base AB, disegna la bisettrice dell'angolo interno CAB e la bisettrice dell'angolo esterno di vertice B; sia P il loro punto di intersezione. Dimostra che:
- AB e CP sono paralleli;
- il triangolo APC è isoscele;
- CP è la bisettrice dell'angolo esterno di vertice C.

Traccia 10

Prolunga la mediana AM di un triangolo ABC di un segmento MP=AM. Dimostra che i segmenti AC e BP sono congruenti.

Traccia 11

Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, costruisci esternamente al triangolo i due triangoli equilateri ACD e BCE. Indica con P il punto di intersezione di BD e di AE. Dimostra che:
- il triangolo ABD è congruente al triangolo ABE;
- il triangolo ABP è isoscele.

Traccia 12

Il triangolo ABC è isoscele sulla base AB; DA è congruente a BE; l'angolo FDA è congruente all'angolo FEB. Dimostra che i triangoli DCE e AFB sono isosceli.

Traccia 13

Dato il triangolo ABC, isoscele sulla base AB, prolunga, oltre il vertice C, i due lati AC e BC rispettivamente di due segmenti CE e CD congruenti tra loro. Dimostra che i segmenti AD e BE sono congruenti.

Traccia 14

Dato un triangolo isoscele ABC, dimostra che i punti medi dei lati sono vertici di un triangolo isoscele.

Traccia 15

In un triangolo ABC isoscele di base AB prolunga il lato AC di CD congruente con AC. Dimostra che l'angolo ABD è retto.

Traccia 16

Dimostra che i segmenti che uniscono un punto interno a un triangolo con gli estremi di un lato hanno somma maggiore del lato considerato e minore della somma degli altri due lati.

Traccia 17

Dimostra che in un triangolo un lato è minore della somma degli altri due lati.

Traccia 18

Nel triangolo isoscele ABC, di vertice C, la bisettrice dell'angolo esterno di vertice A incontra il prolungamento del lato BC nel punto E; la bisettrice dell'angolo esterno di vertice B incontra il prolungamento del lato AC nel punto F. Dimostra che i triangoli ABF e ABE sono congruenti.

Traccia 19

Il triangolo ABC è isoscele sulla base AB; prolunga il lato AB di due segmenti congruenti AD e BE. Dimostra che il triangolo DEC è isoscele.

Traccia 20

In un triangolo scaleno ABC sia AC < CB; la bisettrice dell'angolo ACB interseca AB in E. Dimostra che AE < EB.

Traccia 21

Il triangolo ABC è isoscele; gli angoli DAB e ABE sono retti. Dimostra che i triangoli DCA e BCE sono congruenti.

Traccia 22

Dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB, considera sui lati obliqui AC e BC, rispettivamente, due punti P e Q tali che AP è congruente a BQ. Indicato con R il punto d'intersezione di AQ e di BP, dimostra che i due triangoli ARB e PRQ sono isosceli.

Traccia 23

Dimostra che in ogni triangolo isoscele la bisettrice dell'angolo esterno adiacente al vertice è parallela alla base.

Traccia 24

Dal vertice A del triangolo ABC conduci la perpendicolare al lato AC e dal vertice B la perpendicolare a BC. Dimostra che la circonferenza circoscritta al triangolo ABC passa per il punto di intersezione delle due perpendicolari.

Traccia 25

Sia ABC un triangolo. Nel semipiano avente come origine la retta AB, cui non appartiene il triangolo, considera:
la semiretta di origine A che forma con AB un angolo congruente a BAC;
la semiretta di origine B, che forma con AB un angolo congruente ad ABC.
Indica con D il punto di intersezione delle due semirette.
a. Dimostra che i triangoli ACD e BDC sono isosceli.
b. Considera un punto P sul lato AB e dimostra che PC=PD.

Traccia 26

Dati due triangoli ABC e A'B'C', traccia le mediane CM e C'M' relative, rispettivamente, ad AB e ad A'B'. Dimostra che, se CM = C'M', ACM=A'C'M' e AMC=A'M'C', allora i due triangoli sono congruenti.

Traccia 27

Dimostra che due triangoli isosceli con gli angoli al vertice congruenti sono equiangoli.

Traccia 28

Considera un triangolo ABC e traccia la sua bisettrice BP. Sia A' il simmetrico di A rispetto a B, e C' il simmetrico di C sempre rispetto a B. Sia BP' la bisettrice del triangolo A'BC'. Dimostra che P, B e P' sono allineati.

Traccia 29

Dato un triangolo ABC, conduci per il punto medio M di BC la retta r perpendicolare alla bisettrice dell'angolo A. Sia P il punto in cui r incontra la retta AB e Q il punto in cui r incontra la retta AC. Dimostra che BP=CQ.

Traccia 30

Nel triangolo ABC consideriamo la mediana CM e la semiretta di origine A che incontra il prolungamento di BM in D e tale che DAC è congruente a DBC. Dimostra che AD è congruente a BC.

Traccia 31

Dimostra che, se in un triangolo la bisettrice di un angolo coincide con l'altezza relativa al lato opposto, allora il triangolo è isoscele.

Traccia 32

Sulla bisettrice dell'angolo C del triangolo ABC considera i punti P e Q tali che CP sia congruente a BC e CQ sia congruente ad AC. Dimostra che AP è congruente a QB.

Traccia 33

Dimostra che in un triangolo isoscele le tre bisettrici si incontrano nello stesso punto.

Traccia 34

Dimostra che in un triangolo scaleno le tre bisettrici si incontrano nello stesso punto.

Traccia 35

Dal vertice A del triangolo ABC conduci una retta r che interseca BC in S. Siano BK la perpendicolare condotta da B a r e CR la perpendicolare condotta da C a r. Dimostra che il triangolo di vertici K, R e il punto medio di BC è isoscele.

Traccia 36

Nel triangolo ABC l'angolo ACB è il doppio dell'angolo ABC. La bisettrice dell'angolo ACB interseca AB in R. Dimostra che RBC è isoscele.

Attenzione

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